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>>>> EUREKA 2.12 02/87 <<<<
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breve description
Note : English documentation is available in the EURKPAP.UK directory,
maintained by Karl SAMYN (see his home page at Royal Military Academy of
Belgium).
Eurêka est un traceur. Il permet de visualiser
des graphes de fonctions mathématiques diverses définies
dans "HELP". Il est possible de proposer des expressions compliquées
qui seront analysées grâce à un évaluateur d'expression.
Il est possible de définir des expressions à valeur complexe
puisque la constante symbolique i telle que i*i=-1 est présente.
Avant de tracer ( menu Courbe->tracer ) une courbe il est nécessaire
de définir le système dans lequel celle-ci va être
tracée.
1) Le menu système
Le menu système se divise en deux parties.
On peut définir des graphes dans le plan ou dans l'espace. Le plan
possède deux dimensions, tous les graphes dans le plan seront tracés
en laissant varier une variable. L'espace possède trois dimensions,
tous les graphes dans l'espace seront tracés en laissant varier
deux variables.
Définir un système consiste à choisir si le graphe
nécessite de faire varier une ou deux variables dans ce cas on choisira
soit le plan soit l'espace. Il faut aussi avoir une idée de quelles
vont être les bornes de variation entre lesquelles la ou les variables
pourront évoluer ainsi que des limites dans lesquelles le graphe
est contenu.
1.1) Dans le plan
Les limites dans lesquelles la variable se situe
sont définies conjointement à la définition du système,
au moment du tracé ( menu Courbe->tracer ). Cela dépend du
système choisi. Les axes sont orthogonaux de plus le système
peut être orthonormé en choisissant l'option "NORMER" ( de
la fenêtre proposée après Système->Cartésien
ou Système->Polaire ).
1.1.1) Cartésien
Le plan cartésien est défini par ses
limites en abscisse ( x ) et en ordonnee ( y ). Les limites du plan peuvent
être arbitrairement élevée. Il faut toutefois se borner
a un choix qui est décidé par les critères suivants
:
1.1.1.1) Cartésien - Analytique
Le graphe a une forme analytique y=f(x). Les limites
proposées en abscisse ( x ) vont donc déterminer l'intervalle
de variation de la fonction f. De la même façon les limites
en ordonnée ( y ) ne seront bien choisies, que si elles correspondent
à un intervalle significatif pour les variations de la fonction
y=f(x). Par exemple,
y=sin(x) ; un intervalle intéressant pour observer y est l'intervalle
suivant :
en abscisse : ( variation de x la variable )
0 2*PI__________________________________
en ordonnee : ( variation de y la fonction de x )
-1 1____________________________________
On peut en effet remarquer que la fonction y=sin(x) ne prend des valeurs
que dans l'intervalle [-1,1] et que sa période est 2*PI.
Il est aussi possible en mode Cartésien -
Analytique de dériver ou intégrer numériquement une
expression y=f(x). Il faut alors au moment de tracer la fonction revenir
dans le menu système->Cartésien->flèche en ayant décidé
laquelle des 3 courbes de A à C sera f(x) et placer la dérivée
f'(x) ou l'intégrale F(x) dans les 3 courbes de D a F. On peut pour
l'intégrale ajouter une constante à celle-ci qui corresponde
par exemple à F(INF(x)) ou à 0. Pour cela on peut donner
une expression compliquée de la forme g(x) ou x représente
la limite inférieure INF(x) donnée en abscisse dans le menu
système. Par exemple pour f(x)=sin(x) que l'on désire intégrer,
la constante à ajouter a l'intégrale pourra être F(INF(x))=-cos(x).
Dans le cas général ou on ne connaît pas l'expression
formelle de F(x), on choisira une constante nulle. De cette manière
l'intégrale calculée sera la suivante:
Integrale = F(SUP(x))-F(INF(x))
Remarque : Pour calculer la moyenne de f(x) sur l'intervalle en x choisi,
il suffit de diviser l'intégrale calculée par la quantité
SUP(x)-INF(x).
1.1.1.2) Cartésien - Paramètrée
Le graphe a une forme Paramètrée :
{ x = X(t)
{ y = Y(t)
La variable dans ce cas présent est t le paramètre.
Les limites demandées en abscisse et en ordonnées dépendent
donc des variations des fonctions X(t) et Y(t). Les variations de la variable
t ne seront demandées qu'une fois que le système d'équation
sera défini ( dans le menu Courbe->Tracer ). Par exemple la fonction
Paramètrée suivante :
{ x=cos(t)
{ y=sin(t)
pourra être tracée dans le domaine suivant:
en abscisse : ( variations de X(t) )
-2 2____________________________________
en ordonnee : ( variations de Y(t) )
-1 1____________________________________
dans un système d'axes othonormés ( option Système->Cartésien
bouton "NORMER" ), pour des variations :
Variation de t :
0 2*PI__________________________________
tracera un cercle de centre (x=0,y=0) et de rayon r=1.
1.1.2) Polaire
Le système de coordonnées polaires
est défini en abscisse ( x ) et en ordonnee ( y ) par la définition
d'un angle t par rapport au segment (Ox) O étant l'origine (0,0)
et x représentant l'axe des x, et d'une distance r du point (x,y)
par rapport à l'origine. On définit les coordonnée
polaires par le système suivant :
{ x = r*cos(t) { r=sqrt(x^2+y^2)
{ y = r*sin(t) <=> { t=atg(y/x)
Dans ce système de coordonnées la seule
variable pour le tracé est t. Les limites du plan peuvent être
arbitrairement élevée. Il faut toutefois se borner à
un choix qui est décidé par les critères suivants
:
1.1.2.1) Polaire - Analytique
Le graphe est déterminé par la fonction
r=R(t). Pour apprécier les limites en abscisse ( x ) et en ordonnée
( y ), il faut préalablement connaître quel sera le domaine
de variation de R(t) en fonction du domaine de variation de t. Par exemple
pour la spirale d'Archimède définie par :
R(t)=t
et pour
variation de t :
0 4*PI__________________________________
on peut prendre l'intervalle de variation suivant :
en abscisse :
-24 24__________________________________
en ordonnee :
-12 12__________________________________
en choisissant de normer le système d'axes.
1.1.2.2) Polaire - Paramètrée
Le graphe est déterminé par le système d'équations
paramètrée :
{ r = RO(t)
{ t = THETA(t)
Pour apprécier les limites en abscisse ( x )
et en ordonnee ( y ), il faut préalablement connaître quel
seront les domaines de variation de RO(t) et THETA(t) en fonction du domaine
de variation de t. Par exemple la fonction paramètrée suivante
trace le signe infini :
{ RO(t) = cos(t)
{ THETA(t) = sin(t)
et pour
variation de t :
0 2*PI__________________________________
on peut prendre l'intervalle de variation suivant :
en abscisse :
-2 2____________________________________
en ordonnee :
-1 1____________________________________
en choisissant de normer le système d'axes.
Il faut remarquer que les coordonnées polaires
- analytiques ne sont autre que des coordonnées polaires - paramètrées
en posant THETA(t)=t.
1.1.3) Image 2D
Le système de coordonnées Images 2D
permet de tracer une surface c=P(x,y). c est un niveau dans le système
de couleurs de l'ordinateur et x & y sont les axes horizontaux et verticaux
respectivement. c varie donc entre 0 et le nombre de couleur affichables
par l'ordinateur. Si c ne se trouve pas dans l'intervalle, il est réduit
modulo le nombre de couleurs affichables.
1.2) Dans l'espace
Dans les systèmes de coordonnées dans
l'espace, il est possible de représenter une surface dépendant
de deux variables. Les axes de coordonnées forment un repère
direct tel que :
1.2.1) Espace Affine
Les surfaces représentables sont de la forme
Z=f(x,y). Il suffit de définir l'intervalle de variation des variables
x et y, et les limites du tracé de Z.
Par exemple le trace d'un sinus cardinal peut être fait en définissant
:
en abscisse :
-10 10__________________________________
en ordonnee :
-10 10__________________________________
en cote :
-1 1____________________________________
La surface A sera obtenue en donnant la fonction
Z(x,y)=
sin(r)/r________________________________
dans ce cas r=sqrt(x^2+y^2). De même on peut utiliser la variable
t telle que : t=atg(y/x).
1.2.2) Coordonnées cylindriques
Dans ce système de coordonnées il est
possible de représenter des surfaces s=F(r,t,z). Les coordonnées
sont définies par :
Pour tracer une courbe on choisi l'intervalle de variation
de r t et z, sachant que l'un des trois restera constant (une surface dépend
de deux variables). On donnera ensuite les limites de l'espace. Pour tracer
un cylindre on pourra définir r constant et
theta :
0 2*PI__________________________________
z :
-1 1____________________________________
Les limites de l'espace seront alors :
en abscisse :
-2 2____________________________________
en ordonnee :
-2 2____________________________________
en cote :
-2 2____________________________________
La surface cylindrique sera obtenue en donnant la fonction
Fr(r,t,z)=
1_______________________________________
Ft(r,t,z)=
t_______________________________________
Fz(r,t,z)=
z_______________________________________
1.2.3) Coordonnées sphériques
Dans ce système de coordonnées il est
possible de représenter des surfaces s=F(r,t,p). Les coordonnées
sont définies par :
avec :
{ x=r*sin(p)*cos(t)
{ y=r*sin(p)*sin(t)
{ z=r*cos(p)
Pour tracer une courbe on choisit l'intervalle de variation
de r t et p, sachant que l'un des trois restera constant (une surface dépend
de deux variables). On donnera ensuite les limites de l'espace. Pour tracer
une sphère on pourra définir r constant et
theta :
0 2*PI__________________________________
phi :
0 PI____________________________________
Les limites de l'espace seront alors :
en abscisse :
-2 2____________________________________
en ordonnee :
-2 2____________________________________
en cote :
-2 2____________________________________
La surface sphérique sera obtenue en donnant la fonction
Fr(r,t,p)=
1.5_____________________________________
Ft(r,t,p)=
t_______________________________________
Fp(r,t,p)=
p_______________________________________
1.2.4) Paramètrées 3D
Il existe deux systèmes de coordonnées
paramètrées. Dans les deux cas deux paramètres varient.
Ils peuvent être soit x et y ; c'est le système rectangulaire,
soit r et t (ou u) ; c'est le système polaire.
1.2.4.1) rectangulaire
Dans ce cas :
{ r=sqrt(x^2+y^2)
{ t=atg(y/x)
la surface à tracer est une fonction de x y r et t. Pour un tore
on définira les intervalles de variation des variables:
x :
0 2*PI____________________________________
y :
0 2*PI__________________________________
Les limites de l'espace seront alors :
en abscisse :
-5 5____________________________________
en ordonnee :
-5 5____________________________________
en cote :
-5 5____________________________________
La surface torique sera obtenue en donnant la fonction
X(x,y,r,t)=
(3+cos(x))*cos(y)_______________________
Y(x,y,r,t)=
(3+cos(x))*sin(y)_______________________
Z(x,y,r,t)=
sin(x)__________________________________
1.2.4.1) polaire
Dans ce cas :
{ x=r*cos(t)
{ y=r*sin(t)
la surface à tracer est une fonction de x y r et t. Pour un disque
on définira les intervalles de variation des variables avec u constant
:
r :
0 1_____________________________________
theta :
0 2*PI__________________________________
Les limites de l'espace seront alors :
en abscisse :
-2 2____________________________________
en ordonnee :
-2 2____________________________________
en cote :
-2 2____________________________________
Le disque sera obtenue en donnant la fonction
X(x,y,r,t)=
r*cos(t)________________________________
Y(x,y,r,t)=
r*sin(t)________________________________
Z(x,y,r,t)=
0_______________________________________
Ce programme est un free-shareware-ware. C'est à
dire que tout auteur de shareware utilisant ce programme, s'engage à
m'envoyer celui-ci en me faisant grâce de sa contribution. J'espère
ainsi d'une part avoir une bibliothèque de logiciels intéressants,
et d'autre part, tenir compte du développement de chacun pour rendre
mes productions interfacables avec les vôtres. Les auteurs de freewares
sont aussi vivement encourages à me faire parvenir leurs productions.
Pour les personnes qui ne sont pas développeurs, vous pouvez m'aider
dans mes efforts en m'envoyant 100 FF.
Il est strictement interdit de modifier ce programme
ou d'en utiliser des parties sans mon autorisation.
Vous n'avez pas le droit d'enlever des fichiers de
l'archive. Vous devez la transmettre Intégralement et Gratuitement.
Certains organismes auront le droit de demander des frais de copie et uniquement
de copie, du moment qu'aucun bénéfice n'est fait sur mon
dos...
J'autorise les magazines à mettre ce programme
sur leur disquette à condition qu'ils m'envoient gratuitement le
numéro correspondant, ce qui n'est pas trop demander je pense.
Note : Je ne pense pas distribuer une version avec coprocesseur dans
les conditions actuelles, pour ce programme. Une version plus performante
sera peut être un jour l'objet d'une version commerciale. Merci pour
votre compréhension ...
Mes coordonnees sur la planete sont :
WEB: http://www.ief.u-psud.fr/~lecoat
E-mail: lecoat@ief.u-psud.fr
postales: Mr LE COAT Francois
9 Clos de Bures
Rue de Gometz
91440 Bures-sur-Yvette
FRANCE
Telephone: Ca n'existe pas chez moi !
Merci à Karl SAMYN pour son aide précieuse,
à David ROUSSEL qui est bien le premier à me dire que je
suis têtu, ainsi qu'à Thierry ROCHEBOIS pour avoir supporté
un certain nombre de beta versions. Je tiens aussi à remercier Olivier
LANDEMARRE de son aide pour la compatibilité avec MAGIC MAC. Merci
aussi à Emmanuel BARANGER pour nous livrer un aussi beau modeleur
universel. Vous êtes vivement encouragés à obtenir
des rendus plus élaborés que ceux d'Eurêka, grâce
au superbe EB_MODEL et l'import de surfaces que celui-ci permet. Je veux aussi
remercier Loic SEBALD pour nous avoir conçu une carte son aussi sympatique pour HADES.
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